Si la théorie des catégories doit pouvoir formaliser des situations en dehors des mathématiques pures, il semble souhaitable de l'élargir quelque peu, en particulier en ce qui concerne la typologie des morphismes : on doit pouvoir introduire plusieurs types de flèches, ne se composant entre lles que si elles appartiennent au même type.

Un exemple simple peut le faire comprendre : soit une famille composée de trois membres, père, mère et fils, soit trois objets : P, M , F. Une première catégorie est obtenue en prenant entre ces objets la relation d'ordre "taille" : il y a une flèche entre P et F si F a une taille plus grande que P :

    P ---------> F   ssi F plus grand que P

On peut introduire bien d'autres relations d'ordre, par exemple l'âge, le poids, etc...en prenant l'âge, P sera évidemment plus vieux que F et l'on aura une deuxième sorte de flèche , mais cette fois :

    F  --------->> P  : P plus vieux que F

et évidemment les flèches 1 ne se composeront pas avec les flèches 2.

Un exemple un peu plus élaboré, appartenant au domaine de la physique mathématique, peut être trouvé dans l'article "Causal sites as quantum geometry" de Louis Crane et Daniel Christensen, à l'adresse suivante :

           http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0410/0410104.pdf

On y définit un site (ou espace-temps) causal comme un ensemble de "régions" muni de deux relations d'ordre partiel , c'est à dire, si on le voit comme une catégorie, de deux types de morphismes: une relation d'inclusion ≤ (qui n'est pas forcément à prendre au sens ensembliste), admettant un objet initial et des coproduits Û (unions), et une relation "causale" → , avec en outre des relations de compatibilités entre les deux types de flèches:

 A ≤ B → C  entraine  A → C  ; A → B et A ≤ B entrainent A → A  ;  A → C  et B → C entrainent A Û B → C.

Les auteurs catégorifient leur notion de "site causal" (terminologie malheureuse car elle crée la confusion avec ce qu'on appelle en théorie des catégories un "site") au moyen de ce qu'ils appellent une "2-catégorie faible" (c'est à dire ce qui est normalement appelé bicatégorie) mais on peut voir facilement que clea peut être formalisé plus commodément par une "catégorie double" dont la cellule de base est un carré:

                                              A ≤  B

                                              ↓      ↓

                                              C ≤  D

C'est Ehresmann qui semble t'il invente la notion de catégorie double sous la forme d'un ensemble muni de deux ordres, vers la fin des années cinquante. Un exemple en est ce qu'il appelle la "catégorie double" des quintettes

quelques mots d'abord sur cette nouvelle rubrique "MATHESIS" et son caractère spécifique.

il s'agit de faire apparaitre "la chose même" qui est l'objet de ce blog, à savoir la "Mathesis universalis", ou du moins, restons modestes, de poser des jalons en vue de cet objectif.

A ce titre les articles rentrant dans cette catégorie seront plus "techniques" que les autres, bien que, et j'y insiste, il ne s'agisse pas purement et simplement de mathématique. Nouis suivons ici, comme cela a d'ailleurs déjà été précisé, Descartes : la "Mathesis universalis" n'est pas (seulement) la "mathématique universelle" dont parlaient les prédecesseurs de Descartes. Elle est pour nous la science générale et universelle qui est aussi (cf les "Regulae" ) "l'humaine Sagesse", sous la forme d'une théorie de tout savoir objectif et rigoureux. C'est à dire, en somme, la philosophie. Et elle comprend donc la métaphysique.

Les articles de cette catégorie seront aussi une sorte de "chantier permanent" : ils pourront à tout moment être modifiés, complétés, voire supprimés. Cependant ils pourront aussi rester en l'état assez longtemps.

Je dois aussi avertir qu'il s'agit d'une "aventure d'idées" plutôt que de l'exposition d'un savoir ou d'une théorie: il se peut donc que tout cela reste cconfus et insatisfaisant assez longtemps, voire toujours.

La théorie mathématique des catégories sera grandement mise à contribution, puisque, comme nous l'avons déjà expliqué ailleurs, nous considérons qu'il s'agit non pas d'une théorie mathématique particulière, mais de la nouvelle forme que prennent les mathématiques et qui ouvre en même temps sur un "au delà " de la pure et simple mathématique, puisqu'il s'agit de la théorie générale de l'objet et de la relation. il s'agit donc de la forme rudimentaire de la mathesis universalis.

Cette catégorie n'est pas réservée aux mathématiciens, puisque, encore une fois, il ne s'agit pas (seulement) de mathématique, ni de "philosophie des mathématiques", mais de philosophie, de philosophie sous une nouvelle forme, entièrement rigoureuse et scientifique : mais compte tenu de ce qui vient d'être dit, elle ne pourra être lue avec profit que par les persones disposant déjà d'une connaissance rudimentaire du vocabulaire des catégories et foncteurs. De nombreux sites web existent pour cette étude préliminaire, et les références ont été données ici ou sur le forum MSN associé:

http://groups.msn.com/mathesisuniversalis

ainsi que sur l'autre blog associé à celui ci :

http://mathesis.over-blog.com

 Concernant pour finir les mathématiciens "purs" qui liraient ce blog, s'il y en a, je dois aussi les avertir qu'ils risquent d'être déçus s'ils croient trouver ici des travaux seulement mathématiques. Le but de ce blog n'est pas de démontrer de nouveaux théorèmes. 

Nous commençons donc par les structures algébriques. Pourquoi elles ? on sait qu'on départage traditionnellement les structures mathématiques en structures d'ordre, structures topologiques et structures algébriques. Mais la théorie des catégories réalise en quelque sorte une "algébrisation" de toute la mathématique universelle.

Une mathesis universalis qui, selon la voie tracée par Descartes, se préoccuppe de la "mathématicité" de la mathématique universelle, c'est à dire de "fonder" une science non plus de la simple quantité discrète ou continue, mais de tout ce qui se peut dire rigoureusement "selon l'ordre et la mesure", une telle mathesis donc doit privilégier la forme algébrique.

Groupes et groupoïdes.

Commençons très simplement par les groupes, qui sont l'archétype de la structure mathématique moderne, apparue avec Galois.

On sait qu'un groupe G peut être envisagé comme une catégorie ayant un unique objet, appelé G, et dont les morphismes correspondent aux éléments du groupe.

L'élément neutre e du groupe correspond au morphisme identité, et la loi de composition des éléments du groupe à la composition des morphismes, qui est associative selon les axiomes des catégories. Le fait que tout élément du groupe ait un inverse se traduit en langage catégorique par : tout morphisme est un isomorphisme (c'est à dire possède un inverse).

A tout objet C d'une catégorie quelconque on peut associer le monoïde des endomorphismes de C, c'est à dire des flèches : C → C, et le groupe des automorphismes, cad les isomorphismes, ou flèches inversibles, C → C.

Philosophiquement parlant, nous interprétons le morphisme identité pour un objet dans une catégorie, qui est l'élément neutre de ce monoïde des endomorphismes ou de ce groupe des automorphismes, comme la trace de l'Un métaphysique.

On peut développer ceci à propos des relations d'ordre sur les monomorphismes, que nous allons sommairement rappeler :