Islam des Lumières

Le livre de R W Carroll "Fluctuations, information, gravity and the quantum potential" a été vanté ailleurs comme "méthode universelle" d' entrée dans la physique actuelle et ses problèmes, ainsi bien sûr que celui de Roy Frieden : "Physics from Fisher information".

Le chapitre 7 du livre de Carroll commence par un résumé des chapitres 1 à 6. Des parties importantes du livre sont accessibles , sous forme simplifiée, dans les fichiers arxiv suivants :

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0406/0406203v1.pdf  : Fisher, Kähler, Weyl and quantum potential

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0406/0406004v2.pdf : gravity and the quantum potential

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0401/0401082v2.pdf : remarks on the Schrödinger equation (chapitre 1 du livre)

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0403/0403156v3.pdf: on the quantum potential (chapitre 7)

C'est le premier de ces articles (Fisher, Kähler, Weyl) qui est le plus important , car il contient un nombre étonnant de connections avec la géométrie de l'information, à travers les références suivantes :

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9701/9701051v2.pdf statistical geometry in QM (Brody et Hughston, dont on trouve ici tous les articles :

http://eprintweb.org/S/authors/All/hu/Hughston )

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/9909/9909065v1.pdf (Hydrodynamical formulation of QM, Reginatto)

ainsi que deux articles fondationnels définissant une "distance statistique" sur des variétés ou "modèles statistiques ":

http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/wootters_prd_23_357_81.pdf (Statictical distance and Hilbert space)

http://www-users.cs.york.ac.uk/~schmuel/papers/bc94.pdf (statistical distance and the geometry of quantum states)

Cet article : Non linear QM as fractal brownian motion" est aussi une pièce importante de l'article de Carrol :

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0202/0202026v1.pdf

ainsi que ces trois suivants :

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0202/0202076v1.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9706/9706069v1.pdf  (geometric formulation of QM)

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/9906/9906086v2.pdf (geometric QM, de Brody et Hughston)

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0404/0404102v1.pdf (understanding QM in terms of geometry)

Ce qui fait du livre de Roy Frieden une sorte d'unification de toutes les théories existantes, où à mon avis il serait possible de chercher , plus que dans les sophistications des supercordes, les instruments de création de la physique unifiée du futur, c'est l'information de Fisher, dont il montre qu'elle est de nature "locale" alors que celle de Shannon est "globale".

Mais , allant plus loin, on peut soutenir que le concept de variété spatiotemporelle classique (celle de la GR et SR), est un"abstraction", puisque la notion de "point" d'espace temps parfaitement différentié est seulement une limite. On doit la remplacer par une région d'espace temps, ou par une notion informationnelle en introduisant une distribution probabiliste.

C'est ce qui est fait par exemple dans l'article de Reginatto , ce qui conduit à la métrique informationnelle de Fisher dont l'expression la plus générale est une matrice n x n de la forme :

                  I_jk = 1/2 . ∫1/P.∂P/∂θ_j . ∂P/∂θ_k . dⁿx

où P est une distribution sur la variété  à n dimensions de coordonnées x_i  dépendant de n paramètres θ_i  : P (x_i ¦θ_i).

On devrait partir d'une telle variété informationnelle (dénommée en statistiques mathématiques modèle statistique, et que des gens comme Amari, Kass, Barndorff Nielsen, Murray, Rice,  ont étudiées du point de vue de la géométrie différentielle, le point de départ fondateur étant le concept de "courbure statistique" , et en dériver les variétés classiques de la physique connues.

il existe sur arxiv des articles démontrant par exemple que la distribution gaussienne donne l'espace euclidien à 3 dimension de la mécanique classique, et une autre distribution  donne la variété de Minkowski de la relativité restreinte (= SR).

Voir à ce sujet les articles éclairants de X et J Calmet, qui sont étudiés par Carroll au chapitre 6 de son livre : "Information and entropy", et notamment au paragraphe 1 : dynamics of uncertainty.

http://arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0403/0403043v1.pdf "Metric on a statistical space-time", où la métrique de la SR de Lorentz et Minkowki est dérivée d'une distribution à  valeurs complexes, telles qu'on en trouve dans la mécanique quantique "non hermitienne" , intervenant par exemple dans les problèmes hydrodynamiques sur lesquels Carroll met aussi l'accent.

Il est prouvé dans cet article que la métrique de Fisher sur une variété statistique paramétrique (où les points spationtemporels sont remplacés par des états, qui sont des densités de probabilité) coîncide, à un facteur de normalisation près, avec la métrique de la SR pour une distribution dite "gaussienne complexe", de la forme :

            P_θ(x) = k exp ( - 1/u [ (t - iθ₀ )² + (x - θ₁)² + (y - θ₂)² + (z - θ₃)² ])

(c'est ici le paramètre θ à 4 dimensions , correspondant aux 4 dimensions t, x,y,z de la SR,  qui joue de rôle de "coordonnées" sur la variété statistique).

L'autre article de X et J Calmet largement étudié par Carroll est "Dynamics of Fisher information metric" :

http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0410/0410452v1.pdf

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