Gérer sa fortune

Règle de trois, pourcentages et proportions

Cette technique de calcul est au programme de l'école primaire (rappelons-le tout de même, c'est dire si c'est ancien !). Pourtant, l'expérience montre qu'elle est très oubliée et qu'un calcul proportionnel pose souvent de gros problèmes.

Cette technique permet d'évaluer la valeur d'une quantité d'une chose quand on connaît la valeur d'une autre quantité de cette même chose, en passant par la valeur unitaire.

C'est plus clair si on le dit de la manière suivante, et dans sa formultation la plus traditionnelle :
un paysan achète 37 kilogrammes de pommes de terre et les paye 12 euros ; quel sera le prix de 129 kilogrammes des pommes de terre ?

Réponse : (12 / 37) x 129

En d'autre termes, et en développant : si 37 kilos de pommes de terre valent 12 euros, alors 1 kilo de pommes de terre vaut 12 divisé par 37, et 129 kilos valent le prix unitaire du kilogramme multiplié par 129.

Le résultat est donc 41,84 euros, avec un prix unitaire de 32,4 centimes le kilo (ce qui est avantageux si j'en crois les prix affichés au marché de mon quartier !)

On appelle donc cette technique règle de trois parce qu'elle fait intervenir trois valeurs pour en calculer une quatrième. Remarquer que parmi ces trois valeurs, deux concernent une quantité, et une concerne un prix.
On aura toujours cette répartition 2 pour 1.
On dit donc qu'on a une relation proportionnelle entre deux grandeurs qui sont liées : ici, la quantité et le prix. Ou plus généralement entre deux grandeurs, deux entités. La relation est proportionnelle parce que, quand on fait varier une des deux grandeurs, l'autre varie de la même manière mais en lui appliquant un coefficient fixe. On aura reconnu l'équation y = ax.

Dans le cas de nos pommes de terres, le coefficient fixe est le prix unitaire, et on peut écrire que prixTotal(y) = prixUnitaire(a) x quantité(x).
Sur une représentation graphique, on a une droite qui passe par l'origine, parce que si on achète 0 kilo, on payera 0 euro.

Imaginons maintenant qu'un droit fixe forfaitaire s'applique à l'entrée sur le marché où opère notre paysan et on pourrait écrire que :
prixTotal(y)= prixUnitaire(a) x quantité(x) + droitFixe et on retrouve l'équation générale y = ax + b.
On est bien dans une règle de trois puisque sur les quatre éléments de l'équation y, a, x, b, on peut toujours calculer l'un d'eux si on connaît les trois autres. C'est aussi pour cette raison qu'on parle d'une équation à 1 inconnue.
Dans ce cas général, on a toujours une droite mais qui ne passe plus par l'origine, puisque, dans la réalité, si j'achète cette fois 0 kilo, j'aurai tout de même payé un quelquechose, juste pour venir voir !

Continuons sur les problèmes de pommes de terre.
Le même paysan, ayant fait le précédent calcul, voit qu'il a assez d'argent pour acheter les 129 kilos, ce qu'il fait.
Trois jours plus tard, il revend les 129 kilos de pommes de terre 52 euros.
Après cette opération, les impôts lui demandent 2,33 euros de taxes sur les bénéfices.
Quel est le taux, en pourcentage, de taxes sur les bénéfices réalisés lors de la revente des pommes de terre ?

Le pourcentage relève du même mécanisme, sauf qu'au lieu de ramener à des valeurs unitaires, on ramène à un ensemble conventionnel de 100 unités, ce qui est plus parlant pour l'esprit.

La solution est donc : (2,33 / 10,16) * 100 (le bénéfice réalisé est de 10,16 euros puisque les pommes de terres achetées 41,84 euros sont revendues 52 : 52 - 41,84 = 10,16).
Ou en développant comme plus haut : si les taxes pour 10,16 euros se montent à 2,33 euros, alors pour 1 euro de bénéfice, on payera 2,33 divisé par 10,16, et pour 100 euros, on payera 100 fois plus. Si on fait le calcul, on trouvera que le taux de taxes est de 22,93 %, ce qui est beaucoup.
Ici, on fait bien le calcul sur trois valeurs connues pour trouver la quatrième, mais la troisième valeur connue (100) est conventionnelle et implicite : elle ne s'applique pas à une transaction réelle, c'est seulement une référence pour exprimer un taux de calcul qui s'appliquera à un ensemble de transactions obeissant aux même règles.

On peut dire que le pourcentage est un cas particulier de la règle de trois.

En généralisant tout ce qui précède, on parlera de proportions, et on écrira que :
my = nx
c'est à dire que le coefficient de proportionnalité entre x et y est de n/m ou de m/n selon qu'on exprime y en fonction de x ou x en fonction de y.

En réalité, quand nous didions en introduction que ces calculs de base posent souvant de gros problèmes, ce n'est pas tout à fait vrai.
Quand on apprend la règle de trois, on ne paye pas encore d'impôts, et il est rare quel'on spécle sur les pommes de terre !
E n réalité, et beaucoup le penseront en lisant cette fiche, ce n'est pas le calcul lui-même qui est en cause, et que tout le monde saura faire, posé dans les termes conventionnels de cette fiche.

Les difficultés viennent du fait que, dans un cas précis et concret qui se pose et qui doit être résolu, ceux qui ont des difficultés ne savent pas identifier qu'ils sont en face d'un bête problème de règle de trois ou de proportion. et ne pensent donc pas à appliquer ce qu'il savent pourtant faire.

Dans ce cours, on s'en sert dans l'exercice du pendule, puis dans celui de l'avion, puis dans l'analyse de texte, puis dans la manipulation d'image... Très généralement, on peut constater qu'en dehors de ce cours, les dispositifs imaginés par les étudiants pour traiter les différents exercices et travaux qui leur sont proposés, font fatalement appel, à un instant ou un autre, à un problème de proportion.